Little_Dog

ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ П.В. Козлов - канд. физ.-мат. наук Б.Б. Чен - докт. физ.-мат. наук Wavelet-analysis - a new method for time lines analysis is examined. Review of major mathematical ideas and outputs of wavelet-transformations is given. Some specific applications to the apparatus are shown. [pic] Традиционно для анализа временных рядов используется преобразование Фурье, дающее разложение исследуемого временного процесса f(t) в ряд по тригонометрическим функциям, или в более общей форме записи [pic] Коэффициенты сn являются амплитудами гармонических колебаний соответствующей частоты и определяются формулой [pic] Множество функций exp(int) образует ортонормированный базис пространства L2(0,2p). Аппарат Фурье-преобразований дает достаточно простые для расчетов формулы и прозрачную интерпретацию результатов, но не лишен и некоторых недостатков. Преобразование, например, не отличает сигнал, являющийся суммой двух синусоид, от ситуации последовательного включения синусоид, не дает информации о преимущественном распределении частот во времени, может дать неверные результаты для сигналов с участками резкого изменения. Исследуемые ряды также далеко не всегда удовлетворяют требованию периодичности и более того, как правило, заданы на ограниченном отрезке времени. Основы вейвлет-анализа были разработаны в середине 80-х годов Гроссманом и Морле как альтернатива преобразованию Фурье для исследования временных (пространственных) рядов с выраженной неоднородностью. В отличие от преобразования Фурье, локализующего частоты, но не дающего временного разрешения процесса, и от аппарата d-функций, локализующего моменты времени, но не имеющего частотного разрешения, вейвлет-преобразование, обладающее самонастраивающимся подвижным частотно-временным окном, одинаково хорошо выявляет как низко-частотные, так и высокочастотные характеристики сигнала на разных временных масштабах. По этой причине вейвлет-анализ часто сравнивают с "математическим микроскопом", вскрывающим внутреннюю структуру существенно неоднородных объектов. Указанная универсальность обеспечила вейвлет-анализу широкое использование в самых различных областях знаний. Семейства анализирующих функций, называемых вейвлетами, применяются при анализе изображений различной природы, для изучения структуры турбулентных полей, для сжатия больших объемов информации, в задачах распознавания образов, при обработке и синтезе сигналов, например, речевых, для определения характеристик фрактальных объектов. Подобно тому, как в основе аппарата преобразований Фурье лежит единственная функция w(t)=exp(it), порождающая ортонормированный базис пространства L2(0,2p) путем масштабного преобразования, так и вейвлет-преобразование строится на основе единственной базисной функции y(t), имеющей солитоноподобный характер и принадлежащей пространству L2(R), т.е. всей числовой оси. В западной литературе за этой функцией закрепилось название "вейвлет", что означает "маленькая волна", в отечественной иногда ее называют "всплеском", отражая в этом названии и локализацию, и осцилляционный характер поведения. При конструировании базисной анализирующей функции y(t) должны выполняться следующие необходимые условия. Локализация - вейвлет должен быть локализован вблизи нуля аргумента как во временном, так и в частотном пространстве. Нулевое среднее: [pic] Как следствие, вейвлет должен быть знакопеременной функцией. Ограниченность: [pic] Вейвлет должен быть достаточно быстро убывающей функцией временной (пространственной) переменной. Базис одномерного дискретного вейвлет-преобразования (ДВП) строится на основе вейвлета y(t) посредством операций сдвигов и растяжений вдоль оси t. Вводя аналог синусоидальной частоты и принимая для простоты в качестве ее значений степени двойки, получаем для функций базиса yjk(t)= 2j/2y(2jt-k) Базис нормирован, если вейвлет имеет единичную норму. Вейвлет называется ортогональным, если семейство {yjk} представляет ортонормированный базис функционального пространства L2(R), т.е. =djl dkm. В этом случае любая функция fО L2(R) может быть представлена в виде ряда [pic] где [pic] Непрерывное вейвлет-преобразование (НВП) строится аналогичным образом с помощью непрерывных масштабных преобразований и переносов вейвлета y(t) с произвольными значениями масштабного коэффициента a и параметра сдвига b: [pic] где символ * обозначает операцию комплексного сопряжения. Вейвлет-преобразование обратимо для функций f из L2(R) [pic] Таким образом, любая функция из L2(R) может быть представлена суперпозицией масштабных преобразований и сдвигов базисного вейвлета с коэффициентами, зависящими от масштаба (частоты) и параметра сдвига (времени). Двухпараметрическая функция W(a,b) дает информацию об изменении относительного вклада компонент разного масштаба во времени и называется спектром коэффициентов вейвлет-преобразования. Располагая вейвлет-спектром, можно рассчитать полную энергию сигнала [pic] и глобальный спектр энергии - распределение полной энергии по масштабам (скейлограмму вейвлет-преобразования) [pic] Скейлограмма соответствует спектру мощности Фурье-преобразования сигнала, сглаженному на каждом масштабе спектром Фурье анализирующего вейвлета: [pic] где знак ^ обозначает Фурье-образ функции. Примеры часто используемых вейвлетов |HAAR - вейвлет: | |[pic] |[pic] | |FHAT - вейвлет ("Французская шляпа" - French hat): | |[pic] |[pic] | |Wave - вейвлет: | |[pic] |[pic] | |MHAT - вейвлет ("Мексиканская шляпа" - Mexican hat): | |[pic] |[pic] | |Вейвлет Морле (образует комплексный базис): | |[pic] |[pic] | На практике чаще приходится иметь дело с сигналами, заданными не аналитическими функциями, а с дискретным набором данных, определенном на конечном временном интервале. В этом случае принимается, что при tk£t